291.第291章 黎曼猜想报告会（三）

  第291章 黎曼猜想报告会（三）
  “……总而言之，正是在游乐园中所观摩到的那些几何轨迹，带给了我一定的启发。”

  “几何，天然存在于我们的世界当中，而数学，既然本身就被誉为宇宙的语言，那么通过这些东西来带给我们启发，或许也会是一个不错的方式。”

  萧易微微一笑：“这就算是我给大家带来的一个小小建议吧。”

  在场的很多数学家顿时都纷纷点了点头，表示了认可。

  虽然吧，这种方法对于他们来说听起来还是有点太过神奇了，不过倒是也并不妨碍他们向萧易学习。

  现在只要是萧易推荐的方法，那么他们都愿意去尝试一下，说不定就适合自己了呢。

  “那么，我是如何联想到可以从高维的情况来发展模曲线的过程已经和你们说明了，接下来，我们就继续讨论一下，我又是如何最终推导出广义模曲线的。”

  “最开始的时候，我曾经尝试过模曲线，但很容易就能发现的是，虽然模曲线提供了一个研究扩展L-函数的几何框架，但它并不能完全解释扩展L-函数的所有特性，特别是对于某些类型的扩展L-函数，它们的特殊值似乎与模曲线的几何不太吻合。”

  “而后，这就要感谢我对理论物理的研究，给我带来了一定的启发。”

  “我们都知道，在物理学中，使用一些高维的几何空间来研究一些物理现象，比如说Calabi-Yau流形这样的，因此这就给予了我一定启发。”

  “所以，对于这个高维下的模曲线，它就应该包含通常的模曲线作为一种独立的情况，但同时也应该包含更多的信息，以刻画那些通常之外的扩展L-函数。”

  “那么现在我们就可以简单地给出定义。”

  “对于一个n维的广义模曲线，我们将它记为X_f^(n)，是一个n维的复流形，它参数化了一类特殊的n维阿贝尔簇，这些阿贝尔簇具有一些模性质，类似于通常的椭圆曲线。”

  “然后，接着我们就需要用到一些特殊的工具来对其进行处理。”

  “于是我就联想到了Shimura簇和Siegel模形式。”

  “对于一个n维的Siegel模形式f，我们定义一个Shimura簇Sh_f，它参数化了所有具有f所描述的模性质的n维阿贝尔簇。”

  “通过这种途径，我们就可以去证明存在一个自然同构。”

  【X_f^(n) Sh_f】

  ……

  萧易开始在黑板上演示，他是如何证明这个自然同构的。

  只不过，对于场下的大多数数学家们来说，他们就实在看不懂了。

  这些东西，萧易又是怎么能够想到的？
  他是怎么想到要用Shimura簇和Siegel模形式的？

  又是如何做到如此精准地给出相关构造和定义的？
  这是人能够做到的吗？
  他们都陷入了一种迷茫之中。

  对于数学来说，找到能够用来解决问题的工具只是第一步，如何使用这些工具，才是第二步。

  有的时候，就算是他们找到了工具，也不见得就能够用这个工具成功地解决问题，主要就是因为，他们在使用的过程中，仍然没有找到能够将这个工具很好地嵌入问题的“钥匙孔”里，所以，问题仍然是问题，工具也仍然摆在那里。

  这种情况，在数学界中出现的也是相当之多了。

  就像是曾经的安德鲁·怀尔斯，第一次证明费马大定理的时候，被其他的数学家们发现了他的证明中存在的关键错误，以至于他差点就要承认自己失败了。

  但直到最后，他才从现有的其他数学工具中，找到了解决问题的出路，最终成功完成了论文的证明。

  再比如说证明了庞加莱猜想的佩雷尔曼，他在证明中主要使用的是一个名为ricci流的数学工具，而自从这个数学工具诞生之后，数学界就已经看出了这个工具在证明庞加莱猜想中可能带来的巨大作用，但仍然有很长一段时间，数学家们都没能成功地完成证明。

  直到后来，佩雷尔曼才找到了将ricci流嵌入庞加莱猜想的“钥匙孔”中的方法，并在最终完成了证明。

  所以，找到工具只是第一步，如何应用工具，同样也是十分关键的一步。

  而现在，萧易就展现出了仿佛开了天眼般的能力，不仅能够发现广义模曲线这样的新工具，又能够顺势找到将广义模曲线嵌入进“钥匙孔”的辅助工具，Shimura簇和Siegel模形式这两个。

  这真没开？

  “偶买噶的……买噶的……噶的……”

  底下，众多的数学家们都惊叹地看着萧易演示出来的步骤，心中除了震惊，还是震惊。

  “是吧，谁说他不是上帝呢？”

  德利涅感慨地摇摇头，说道。

  “我都从来没有想到过，从韦伊猜想延伸出去的内容，还能够进行这样的拓展。”

  旁边的邦别里摊手道：“你只不过是证明了韦伊猜想而已，又懂什么韦伊猜想呢？”

  德利涅耸耸肩膀，说道：“是的，我完全赞同你的说法。”

  另外一边，陶哲轩也表示了自己心中的惊叹。

  “他真的是连试错都没有试错，然后就直接得出了这样的结果吗？我我实在是有点不敢相信……”

  而一旁的费弗曼则是摇摇头，说道：“就算是他真的在这上面有过错误的尝试，但是……你又觉得他在这些错误上面停留过多长时间呢？我感觉说不定一个月都没有。”

  “说的也是……”陶哲轩叹道。

  如果是换做他们来进行这一步的话，天知道到时候得试错多久。

  如果他们没有看到这篇论文，仅仅只是了解到广义模曲线的定义，并且知道还需要用到Shimura簇和Siegel模形式这两个方法，运气好的话，他们可能一个月就能够完成这一步，但是运气不好的话，那可能就得好几个月，乃至是一年。

  虽然他们并不认为以他们的能力，超过一年的时间都还找不到最终的答案，但这种可能性也绝不对不是零，相反的，这个可能性甚至还有点高……

  以前的时候，他们或许会将这一点更多地归功于运气，然后再稍微加上一点数学家独有的直觉。

  但是现在听着萧易的讲述，他们开始对这一点产生了怀疑。

  真的是这样吗？

  难道这种试错的过程，其实也可以单凭数学能力直接破解？
  但这样问题，他们显然是得不到回答了，毕竟他们不是萧易，自然也就体会不到萧易在遇到这类问题时的体验是怎样的。

  ……

  对于台下这些数学界们此时心中都在想什么，萧易并不清楚。

  如果他们问萧易的话，萧易大概还会对他们询问这个问题感到些许困惑。

  毕竟他是真的全靠数学直觉就行了，因此他也不会理解他们为什么会产生这样的问题。

  这样的情况，一般被称之为「知识的诅咒」。

  简单来说，就是将某些知识当做常识的人，会觉得其他不懂这个知识的人十分愚蠢，常见情况就像是在大人辅导小孩子做家庭作业的时候，会因为小孩子对某个在大人看来十分简单的问题却始终无法搞懂的时候，而感到十分迷惑，甚至会因此而觉得小孩非常的愚蠢。

  而现在，这些顶级的数学家就像是小孩子，而萧易则是大人，后者能够凭借自己的数学直觉，直接省去大量的试错时间，而前者们则很难理解究竟是怎样的数学直觉才能够帮助萧易那样精确地找到答案。

  当然，眼下的萧易并不清楚他们的问题所在，也在继续讲述着他的证明。

  “……于是我们就能够得到这样的一个定理——”

  “设E是一个n维阿贝尔簇，f是一个n维Siegel模形式，如果E的模性质由f描述，那么E的扩展L-函数L(s，E，)等于广义模曲线X_f^(n)的Zeta函数ζ(X_f^(n)，s)。”

  “这个定理大大扩展了之前关于椭圆曲线和模曲线的结果，它表明，广义模曲线提供了一个自然的几何框架，可以统一地处理各种维数的阿贝尔簇和它们的扩展L-函数。”

  “至此，我们也就能够完整地研究所有类型的扩展L-函数了。”

  “通过将每个扩展L-函数与一个广义模曲线联系起来，我们可以使用广义模曲线的几何性质，如维数、Betti数、Hodge结构等，来刻画扩展L-函数的特性……”

  “自然，接下来我们就能够向着阿廷猜想的最终步骤前进。”

  讲到这里，萧易顿了顿，然后看了看时间，随后便笑着说道：“好了，现在时间已经来到了十二点，那么按照之前的安排，现在是午饭时间，在隔壁的酒店，已经为各位准备好丰盛的餐品，欢迎大家前去品尝。”

  正期待着萧易讲述之后该如何证明阿廷猜想的众人，顿时就是一阵哀嚎。

  尽管在黎曼猜想被证明的情况下，阿廷猜想已经显得不是那么重要了，但这只是相对的，人们依然对于萧易能够同时将阿廷猜想也给证明了的这点感到无比的震惊。      所以现在这种情况，简直就像是寸止了一样。

  唯一感谢萧易能够这么准时就“下班”的，大概也就只有那些正在挑战膀胱极限但是又舍不得离开的观众了。

  看着萧易头也不回就进入了后台的身影，众多的观众们也只能放弃挽回。

  “好吧，看来只能等到两个小时后了。”

  邱成桐无奈地说道。

  费弗曼倒是笑呵呵地站起了身：“没事儿，正好华国的茶歇，我也已经期待很久了，我仍然还没有忘记上次来这里吃的东西。”

  他拍了拍邱成桐：“邱，这次又要麻烦你替我介绍介绍美食了。”

  丘成桐笑道：
  “当然没问题。”

  ……

  随后，在场的观众们就在工作人员的招呼下，离开了这里，然后前往了隔壁酒店享受午餐。

  当然，他们也丝毫没有忘记，再过两个小时，就要继续回来，听萧易讲述接下来的证明流程。

  至于这顿午餐的过程中，他们也完全没有闲着，就刚才萧易所讲述的那些内容讨论着，交流着各自的启发和收获，就连原本还打算好好享受一下华国特色美食的费弗曼，也放弃了这些美食，转而加入到了他们的讨论之中。

  反正等到下午讲完之后，还可以重新回到这里，到时候就是想吃多久就吃多久。

  就这样，在各种交流之中，他们越发感慨萧易证明思路之绝妙，证明方式之精彩，同时也更加期待起了报告会的下半场。

  很快，14点之前，所有观众们再一次回到了现场。

  甚至排队进场的过程中，每个人都完全遵守着秩序，没有出现任何意外的情况，因为每个人都不想因为这种事情而导致14点开始的报告被推迟。

  直到14点到的时候，黎曼猜想报告会的下半场，也得以准时开始。

  萧易再一次迈入了场内，站在了主席台上面，看着场下的众多观众们，他微微一笑，说道：“那么，接下来我们的报告继续。”

  “现在，正式开始对阿廷猜想的证明。”

  接下来要进行的，就是一连串复杂的证明过程了。

  关键的工具都已经掌握，接下来要做的就是，将所有的这些工具，真正运用到证明的过程当中。

  这中间，就是差不多几十页的论文内容。

  当然，萧易将这些过程都进行了省略，大概就相当于数学家们常用的“显而易见”、“注意到”、“易得”等等之类的用词。

  不过，在场的数学家们倒是完全可以理解，毕竟萧易总不可能还要在这里给他们将整个证明过程全部写上一遍，那可是总共四百多页的论文内容。

  因此能够省略的也就直接省略了，保留关键步骤就行了。

  就这样，一直到了阿廷猜想证明的最后。

  “到这里，我们就能够做出最终判断。”

  “设f是一个n维Siegel模形式，X_f^(n)是相应的广义模曲线，那么也就存在一个自然的Galois表示——”

  【ρ_f: Gal(Q/Q)→ GL_n(Z_)】

  “这个Galois表示就使得对于任意素数p，Frobenius元Frob_p在ρ_f下的特征多项式等于X_f^(n)在p处的Zeta函数ζ(X_f^(n)，T)。”

  “如此一来，我们就成功建立了广义模曲线的几何性质与Galois表示的算术性质之间的联系。”

  “有了这个结果，我们就能够成功地将阿廷猜想转化为关于Galois表示的一个问题。”

  “具体来说，我们就完成了这样的一个结果。”

  “设E是一个椭圆曲线，L(s，E)是它的Hasse-Weil L-函数，那么有以下两个条件等价。”

  “第一，L(s，E)是整个复平面上的全纯函数，并满足一个函数方程；第二，存在一个模形式f，使得E的Galois表示ρ_E与ρ_f同构。”

  “……最终，我们就可以开始尝试将每个椭圆曲线嵌入到一个广义模曲线中。”

  “现在，我们知道ρ_X来自一个Siegel模形式f，即ρ_Xρ_f，结合这两个结果，就有——”

  【ρ_Eρ_X i_*ρ_f i_*。】

  “这表明ρ_E也来自一个模形式，即f的“拉回“。”

  “而这，也就意味着L(s，E)是整的并满足函数方程，综上所述，我们成功证明了阿廷猜想。”

  萧易转过身，面对着在场观众们，微笑着说道。

  在场的众人顿时都惊叹出声。

  阿廷猜想！

  这个原本再他们看来，同样无比困难的问题，也就这样解决了，甚至还成为了黎曼猜想证明的“序言”。

  此时此刻，他们已经是不知道第多少次因为萧易的这些证明过程而感到震撼了。

  精妙、完美，几乎找不到漏洞……

  “还有这个广义模曲线……”

  舒尔茨口中喃喃着。

  他就是研究算术几何的。

  当年他搞出来的状似完备空间，也可以称得上是算术几何中的一个重要突破，能够被运用于多种问题的研究当中，特别是在代数几何和朗兰兹纲领领域当中。

  而现在，萧易搞出来的这个广义模曲线，则更是从另外一种层面上，对算术几何进行了一次更为强大的拓展，是真正的将代数几何同数论之间的方法进行了一次无比紧密的结合，对于整个数学界来说，这都称得上是一次伟大的革新。

  先不提未来，这个广义模曲线可能为数学中其他问题的解决带来多么巨大的帮助，就说现在，仅仅只是萧易思考出这个广义模曲线的过程，其中逻辑、分析等等，或许都能够给他们这些数学家们带来一些启发，让他们思考现有的其他一些理论，是否也能够像是模曲线这样，通过这样方法进行扩展等等。

  这就是广义模曲线另一方面更加重要的意义，也是他们对于广义模曲线如此期待的重要原因所在。

  现在，看完了萧易是如何思考出广义模曲线，并且将其运用于解决问题上的整个过程，现在，他们多少也算得上是稍微有点悟了。

  “现在，我已经想好了下一篇论文该写什么了。”

  “我也已经想好了，希望你想到的和我不要重样。”

  “我想的是模空间理论，你呢？”

  “damn！……哈哈，逗你的，我和你不一样，我想的是萧易刚才提到过的Shimura簇，我觉得，或许Shimura簇也能够进行更进一步的发展。”

  “很不错，我刚才也产生过这样的想法，但最终我还是想要选择模空间理论，我觉得这里面会有更过值得深挖的东西。”

  “那就祝你好运了。”

  “也祝你好运。”

  “……”

  下面的数学家们显得有些兴高采烈。

  而台上的萧易，也已经开始了他报告的最后一部分。

  也就是直指黎曼猜想的最终证明。

  (本章完)